逻辑异或

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${\begin{smallmatrix}p\oplus q\end{smallmatrix}}$ 的文氏图

在数字邏輯中，逻辑算符互斥或閘（exclusive or）是对两个运算元的一种邏輯分析类型。与一般的邏輯或OR不同，當兩兩數值相同為否，而數值不同時為真。

对于命题$p,q$，$p$异或$q$通常记作$p\operatorname {XOR} q$或$p\oplus q$。在r语言中，写作p ^ q。

真值表

异或运算$p\oplus q$的真值表如下：

$p$	$q$	$\oplus$
$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$

无论怎样改变同一行中$p,q,\oplus$的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以被其他逻辑算符表示为：

${\begin{aligned}p\oplus q&=(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)=p{\overline {q}}+{\overline {p}}q\\&=(p\lor q)\land (\lnot p\lor \lnot q)=(p+q)({\overline {p}}+{\overline {q}})\\&=(p\lor q)\land \lnot (p\land q)=(p+q)({\overline {pq}})\end{aligned}}$

另外，异或算符可以被推广，得到关于n个运算元的异或运算：n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为：

$p\oplus q=\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))$

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。

性质

交换律：$p\oplus q=q\oplus p$

结合律：$p\oplus (q\oplus r)=(p\oplus q)\oplus r$

恒等律：$p\oplus 0=p$

归零律：$p\oplus p=0$

自反：$p\oplus q\oplus q=p\oplus 0=p$

与近世代数的联系

尽管算子$\wedge$（逻辑合取）与$\lor$（逻辑析取）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统$(\{T,F\},\wedge )$ and $(\{T,F\},\lor )$只是幺半群。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如环或半环。

但是，带有逻辑异或的系统$(\{T,F\},\oplus )$是一个交换群。因此，算子$\wedge$与$\oplus$的结合在集合$\{T,F\}$上作用就产生了最基本的二元域$F_{2}$。这个域可以得出所有运用$(\land ,\lor )$可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。

類似符號

名稱	符號	Unicode	圖形	符號的來源
地球	⊕	U+2295		带有赤道和一條經線的球體

使用异或运算交换两个 int 类型变量的数值

public void switch(int &a, int &b){
    a = a ^ b;
    b = a ^ b;
    a = a ^ b
}

参见

• 异或门
• 异或密码