เซตวีตาลี
ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะทฤษฎีเมเชอร์ เซตวีตาลี (อังกฤษ: Vitali set) เป็นตัวอย่างของเซตของจำนวนจริงที่ไม่สามารถหาเมเชอร์แบบเลอเบกได้ เซตดังกล่าวถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกโดย จูเซปเป วีตาลี ในปี ค.ศ. 1905[1] ทฤษฎีบทวีตาลีเป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่ามีเซตดังกล่าวอยู่จริง เซตวีตาลีมีมากมายเป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้ และการมีอยู่ของเซตดังกล่าวต้องอาศัยสัจพจน์ของการเลือก ในปี ค.ศ. 1970 โรเบิร์ต โซโลเวย์ได้สร้างโมเดลของทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลที่ไม่มีสัจพจน์การเลือก และทุกสับเซตของเซตของจำนวนจริงหาเมเชอร์แบบเลอเบกได้ โดยอาศัยการมีอยู่ของ inaccessible cardinal เรียกว่า โมเดลของโซโลเวย์[2]
การสร้างและสมบัติการหาเมเชอร์ไม่ได้
[แก้]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Diagonal_argument.svg/220px-Diagonal_argument.svg.png)
เซตวิตาลีคือเซตย่อยของช่วงปิด ซึ่งมีสมบัติว่า สำหรับจำนวนจริง ใด ๆ จะมีจำนวนจริง เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ เป็นจำนวนตรรกยะ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็นสับกรุปปรกติของเซตของจำนวนจริง ภายใต้การบวก ดังนั้นจึงหากรุปผลหาร ได้ ซึ่งกรุปผลหารดังกล่าวมีสมาชิกเป็นโคเซตของจำนวนตรรกยะในรูป สำหรับบาง
สมาชิกในกรุป เป็นเซตที่แบ่งกั้น และแต่ละสมาชิกหนาแน่นใน ดังนั้นอินเตอร์เซคชั่นของสมาชิกใน และเซต ไม่เป็นเซตว่าง โดนอาศัยสัจพจน์ของการเลือก เราสามารถหาสมาชิกมาหนึ่งตัวจากแต่ละอินเตอร์เซคชั่นนั้นมารวมกันได้เป็นเซตเซตหนึ่ง เซตใด ๆ ที่สร้างมาและมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า เซตวีตาลี
เซตวีตาลีทุกเซตมีขนาดอนันต์นับไม่ได้ และ เป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับทุก ที่ซึ่ง
การหาเมเชอร์ไม่ได้
[แก้]เซตวีตาลี ใด ๆ หาเมเชอร์ไม่ได้
การพิสูจน์ใช้การพิสูจน์โดยหาข้อขัดแย้ง ให้ เป็นการเรียงลำดับของจำนวนตรรกยะในช่วง จากการสร้างจะเห็นว่า เซต ที่เกิดจากการเลื่อนขนานเซต เป็นเซตที่ไม่มีส่วนร่วมกันทุกคู่เมื่อ และยิ่งไปกว่านั้น
- เพื่อพิสูจน์การเป็นสับเซตตอนแรก พิจารณาจำนวนจริง ใด ๆ ในช่วง และให้ เป็นตัวแทนของชั้นสมมูล แล้วจะได้ว่า สำหรับบางจำนวนตรรกยะ จึงทำให้
หาเมเชอร์เลอเบกของเซตข้างต้น:
เนื่องจากเมเชอร์เลอเบกมีค่าเท่าเดิมภายใต้การเลื่อนขนาน ส่งผลให้ และได้ว่า
ซึ่งทำให้เกิดข้อขัดแย้ง เพราะผลรวมอนันต์ของ เป็นได้สองค่าคือ 0 หรืออนันต์เท่านั้น ทั้งนี้เป็นเพราะว่า มีได้สองค่าคือเป็นศูนย์หรือจำนวนจริงบวกสักตัว ดังนั้น หาเมเชอร์ไม่ได้
ดูเพิ่ม
[แก้]อ้างอิง
[แก้]- ↑ Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani.
- ↑ Solovay, Robert M. (1970), "A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable", Annals of Mathematics, Second Series, 92: 1–56, doi:10.2307/1970696, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970696, MR 0265151
บรรณานุกรม
[แก้]- Herrlich, Horst (2006). Axiom of Choice. Springer. p. 120.
- Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani.